Question

【題目】某工廠的某種產品成箱包裝，每箱20件，每一箱產品在交付用戶時，用戶要對該箱中部分產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否合格相互獨立.

（1）記某一箱20件產品中恰有2件不合格品的概率為，取最大值時對應的產品為不合格品概率為，求；

（2）現從某一箱產品中抽取3件產品進行檢驗，以（1）中確定的作為p的值，已知每件產品的檢驗費用為10元，若檢驗出不合格品，則工廠要對每件不合格品支付30元的賠償費用，檢驗費用與賠償費用的和記為，求的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列見解析；.

【解析】

（1）根據二項分布概率公式可得，利用導數可確定單調性，從而得到最大值點；

（2）首先確定所有可能的取值和對應的概率，由此得到分布列；根據數學期望計算公式計算可得期望.

（1）件產品中恰有件不合格品的概率，

，

令，又，解得：，

當時，；當時，；

在上單調遞增，在上單調遞減，

當時，取得最大值，即.

（2）由題意得：所有可能的取值為：，，，，

；；

；；

的分布列為：

數學期望.