Question

在xoy平面中，將兩坐標軸，線段x+y=

1

2

（x≥0，y≥0），和單位圓在第一象限的圓弧的所圍成的幾何圖形（如圖陰影部分）繞y軸旋轉一周，求此圖形在空間中所形成旋轉體的全面積．

Answer 1

分析：幾何體是圖中陰影部分繞y軸旋轉一周所得旋轉體，是一個半球內挖去一個圓錐后剩余部分，求出圓錐的側面積加上半球的表面積以及底面扇環的面積．

解答：解：如圖所示，陰影部分繞y軸旋轉所成旋轉體是一個半球內挖去一個圓錐后剩余部分，
其的全面積是圓錐的側面積加上半球的表面積以及底面扇環的面積，OA=1，OB=OC=

1

2

．
∴S_半球=

1

2

×4πr²=2π×1=4π，
S_圓錐=π×

1

2

×

2

2

=

2

4

π，
S_扇環=π×1-π×(

1

2

)2=

3

4

π，
∴S_全=4π+

2

4

π+

3

4

π．

點評：本題考查旋轉體的表面積，組合體的表面積的求法，考查空間想象能力，是基礎題．