Question

已知，點P（x，y）的坐標滿足

3 x-y＜0 x- 3 y+2＜0 y≥0

，則

3 x+y

x2+y2

的取值范圍為

[-

3

，

3

）

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，P（x，y）為內部一點，設A（

3

2

，

1

2

），可得向量

OA

、

OP

的夾角θ∈（

π

6

，

5π

6

]，由向量的夾角公式可得

3 x+y

x2+y2

=2cosθ，由此結合余弦函數的單調性即可得到本題的答案．

解答：解：作出不等式組

3 x-y＜0 x- 3 y+2＜0 y≥0

表示的平面區域，
得到如圖的平面區域，其中B（-2，0），C（1，

3

）
設A（

3

2

，

1

2

），P（x，y）為區域內一個動點，向量

OA

、

OP

的夾角為θ
∵|

OP

|=

x2+y2

，

OA

•

OP

=

3

2

x+

1

2

y
∴cosθ=

OA • OP

| OA |•| OP |

=

3 2 x+ 1 2 y

( 3 2 )2+( 1 2 )2 • x2+y2

=

1

2

×

3 x+y

x2+y2

∵當P運動到C點時，θ達到最小值；P運動到與x軸負半軸上一點重合時，θ達到最大值
∴∠AOC＜θ≤∠AOB，由直線OA、OC的傾斜角分別為

π

6

、

π

3

，可得θ∈（

π

6

，

5π

6

]
由此可得：-

3

2

≤cosθ＜

3

2

，即-

3

2

≤

1

2

×

3 x+y

x2+y2

＜

3

2

∴-

3

≤

3 x+y

x2+y2

＜

3

，即

3 x+y

x2+y2

的取值范圍為[-

3

，

3

）
故答案為：[-

3

，

3

）

點評：本題給出二元一次不等式組表示的平面區域，求式子

3 x+y

x2+y2

的取值范圍，著重考查了余弦函數的單調性、向量的夾角公式和簡單線性規劃的應用等知識，屬于中檔題．