Question

已知動點P（x，y）到原點的距離的平方與它到直線l：x=m（m是常數）的距離相等．
（1）求動點P的軌跡方程C；
（2）就m的不同取值討論方程C的圖形．

Answer 1

分析：（1）設出動點坐標，直接利用條件寫出方程，并化簡．
（2）將軌跡方程變形化簡，得到 （x+

1

2

）²+y²=

1

4

+m   或（x-

1

2

）²+y²=

1

4

-m，討論4+m 與 4-m 的值的符號，分同為正數、一個正數一個是0時方程各表示的曲線類型．

解答：解：（1）因為原點為O（0，0），所以動點P（x，y）到原點的距離為|PO|=

x2+y2

，
于是動點P的坐標滿足（

x2+y2

）²=|m-x|，
∴x²+y²=|m-x|，此即為動點P的軌跡方程．
（2）由x²+y²=|m-x|，兩邊平方，移項因式分解，
得  （x²+y²-m+x）（x²+y²+m-x）=0，
∴（x+

1

2

）²+y²=

1

4

+m   或（x-

1

2

）²+y²=

1

4

-m．

①當

1

4

+m＞0且

1

4

-m＞0，即-

1

4

＜m＜

1

4

時，點P的軌跡是兩個圓．
一個圓的圓心是（-

1

2

，0），半徑為

1 4 +m

；    另一個圓的圓心是（

1 4 -m

，0），半徑為

1

4

．
②當m=

1

4

或m=-

1

4

時，點P的軌跡是一個圓和一個點．
③當m＜-

1

4

或m＞

1

4

時，點P的軌跡是一個圓．

點評：本題考查軌跡方程的求法，體現分類討論的數學思想．