Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，分別是橢圓的左右兩個頂點，圓的半徑為，過點作圓的切線，切點為，在軸的上方交橢圓于點.

(1)求直線的方程;

(2)求的值;

(3)設為常數，過點作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點，分別交圓于點，記三角形和三角的面積分別為.求的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)

【解析】

（1）連接，根據已知條件由，，可得，從而有為等邊三角形，可得出直線傾斜角為，即可求解；

（2）由，橢圓方程化為，由（1）知，求出點坐標，進而求出直線方程，與橢圓方程聯立，求出點坐標，即可求解；

（3）設的方程為，與橢圓方程聯立求出點坐標，進而求出，同理求出，求出以為自變量的目標函數，應用基本不等式，求出其最大值.

(1)連接，則，且，

又，所以.

又，所以為正三角形，

所以，

所以直線的方程為.

(2)由(1)知，由（1）知，

點坐標為，，

的方程為，

因為，即

所以，

故橢圓的方程為

由，消去，得，

或，

所以

(3)不妨設的方程為，

聯立方程組

整理得，

在第一象限，得

所以.

用代替上面的，得

圓方程為，

聯立整理得，

或，得，所以，

用代替上面的，得

所以

因為

當且僅當時等號成立，

所以的最大值為.