Question

【題目】請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，是邊長(zhǎng)為的正方形硬紙片（如圖1所示），切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰三角形，再沿虛線折起，使得，，，四個(gè)點(diǎn)重合于圖2中的點(diǎn)，正好形成一個(gè)正四棱錐形狀的包裝盒（如圖2所示），設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為.

（1）若要求包裝盒側(cè)面積不小于，求的取值范圍；

（2）若要求包裝盒容積最大，試問(wèn)應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的容積.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，包裝盒容積最大為

【解析】

（1）結(jié)合已知可建立側(cè)面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，然后由側(cè)面積不小于，可建立關(guān)于的不等式，即可求得的取值范圍；
（2）先利用表示出的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求其最大值．

（1）在圖1中連結(jié)，交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，在圖2中連結(jié)，

因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，

由，得，，

因?yàn)?/span>，即，所以.

因?yàn)?/span>，

由，得，所以.

答：的取值范圍是.

（2）因?yàn)樵?/span>中，，

所以，

，，

設(shè)，，

所以，

令，得或（舍去）.

列表得，

		8
	+	0	-
		極大值

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，

所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.

答：當(dāng)時(shí)，包裝盒容積最大為.