Question

（本題10分）無論為任何實數，直線與雙曲線恒有公共點.

（1）求雙曲線的離心率的取值范圍；

（2）若直線過雙曲線的右焦點，與雙曲線交于兩點，并且滿足，求雙曲線的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）聯立直線方程和雙曲線方程，整理方程為，直線與雙曲線恒有交點，則恒成立，但需考慮的情況是否符合題意；（2）設出過雙曲線的右焦點的直線方程，聯立直線方程和雙曲線方程，利用兩個向量坐標的關系，可得，根據，可得

試題解析：（1）聯立，得，

即

當時，，直線與雙曲線無交點，矛盾

所以．所以．

因為直線與雙曲線恒有交點，恒成立

即.所以，所以，

綜上．

（2）,直線：，

，

所以

因為，所以，整理得，

因為，所以，，所以

所以雙曲線.

考點：1、雙曲線的幾何性質；2、直線與雙曲線的相交問題.