Question

【題目】已知拋物線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其焦點(diǎn)為F，M為拋物線上除了原點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M的直線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．

Ⅰ求拋物線C的方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)；

Ⅱ若與的面積相等，證明直線l與拋物線C相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的方程為x2=4y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，1），（Ⅱ）見解析

【解析】

Ⅰ把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程中，求出，這樣就可以直接寫出拋物線C的方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)；

Ⅱ設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，已知與的面積相等，可以推出是的中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，這樣可以求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，得到一個(gè)一元二次方程，只要證明出這個(gè)一元二次方程根的判別式為零，就可以證明出直線l與拋物線C相切．

解：（Ⅰ）∵拋物線x2=2py過(guò)點(diǎn)P（2，1），∴4=2p，解得p=2，

∴拋物線的方程為x2=4y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，1），

（Ⅱ）設(shè)（x0，），由△AFM的面積等于△AFB的面積，可得|MA|=|AB|，

即A是MB的中點(diǎn)，∴A（，0），B（0，-），

∴直線l的方程為y=（x-），

直線l的方程與拋物線C的方程聯(lián)立得，得x2-2x0x+x02=0，得x=x0，y=，

∴直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴直線l與拋物線相切，且切點(diǎn)為M．