Question

已知函數f(x)=

3x2

ax+b

（a，b為常數），且方程f（x）-2x-1=0有兩個實數根分別為-1，-2
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x≥

5

2

時，不等式c²+16＜f（x）+2c恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得（3-2a）x²-（a+2b）x-b=0，利用根與系數的關系可得

a+2b

3-2a

=-3，

-b

3-2a

=2，解得a和b的值，即得f（x）的解析式．
（2）當x≥

5

2

時，令x-2=t，則t≥

1

2

，x=t+2，由基本不等式求得f（x）的最小值，故c²-2c+16＜f（x）_min，解不等式求出c的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）-2x-1=0，∴

3x2

ax+b

=2x+1，∴（3-2a）x²-（a+2b）x-b=0．
依題可得 

a+2b

3-2a

=-3，

-b

3-2a

=2，解之可得a=1，b=-2，故f(x)=

3x2

x-2

．
（2）當x≥

5

2

時，令x-2=t，則t≥

1

2

，x=t+2，則  y=f(x)=

3(t+2)2

t

=

3t2+12t+12

t

=3t+

12

t

+12 
≥2

3t• 12 t

+12=24，當且僅當3t=

12

t

即t=2時等號成立．
因此，當x≥

5

2

時，f（x）_min=24．不等式c²+16＜f（x）+2c恒成立，等價于c²-2c+16＜f（x）_min，
 等價于 c²-2c+16＜24，等價于 c²-2c-8＜0，等價于-2＜c＜4．
故c的取值范圍為（-2，4）．

點評：本題考查函數的恒成立問題，求函數的解析式，基本不等式的應用，體現了等價轉化的數學思想，求出f（x）的最小
值是解題的關鍵．