Question

設(shè)2a+1，a，2a-1為△ABC三邊的長．
（1）求實數(shù)a的范圍；
（2）若△ABC為鈍角三角形，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，可得，∴2a+1+a＞2a-1，a+2a-1＞2a+1，2a+1+2a-1＞a，由此求得實數(shù)a的取值范圍．
（2）若△ABC為鈍角三角形，由題意可得2a+1為最大邊，設(shè)最大邊對應(yīng)的角為θ，由余弦定理可得 cosθ=

a-8

2(2a-1)

＜0，解得

1

2

＜a＜8．再由cosθ≠-1，解得 a≠-2．結(jié)合（1）的結(jié)論，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵2a+1，a，2a-1為△ABC三邊的長，∴2a+1+a＞2a-1，a+2a-1＞2a+1，2a+1+2a-1＞a，
解得 a＞2．
∴實數(shù)a的范圍 （2，+∞）．
（2）若△ABC為鈍角三角形，由題意可得2a+1為最大邊，設(shè)最大邊對應(yīng)的角為θ，
∴由余弦定理可得 cosθ=

a2+(2a-1)2-(2a+1)2

2a(2a-1)

=

a2-8a

2a(2a-1)

=

a-8

2(2a-1)

＜0，解得

1

2

＜a＜8．
再由cosθ≠-1，即

a-8

2(2a-1)

≠-1，解得 a≠-2．
再由（1）可得，a＞2．
綜上可得 2＜a＜8，實數(shù)a的取值范圍為（2，8）．

點評：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，須牢記三角形的三邊關(guān)系為：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，屬于中檔題．