Question

設2a+1，a，2a-1為△ABC三邊的長．
（1）求實數a的范圍；
（2）若△ABC為鈍角三角形，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵2a+1，a，2a-1為△ABC三邊的長，∴2a+1+a＞2a-1，a+2a-1＞2a+1，2a+1+2a-1＞a，
解得 a＞2．
∴實數a的范圍 （2，+∞）．
（2）若△ABC為鈍角三角形，由題意可得2a+1為最大邊，設最大邊對應的角為θ，
∴由余弦定理可得 cosθ===＜0，解得 ＜a＜8．
再由cosθ≠-1，即 ≠-1，解得 a≠-2．
再由（1）可得，a＞2．
綜上可得 2＜a＜8，實數a的取值范圍為（2，8）．
分析：（1）根據三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，可得，∴2a+1+a＞2a-1，a+2a-1＞2a+1，2a+1+2a-1＞a，由此求得實數a的取值范圍．
（2）若△ABC為鈍角三角形，由題意可得2a+1為最大邊，設最大邊對應的角為θ，由余弦定理可得 cosθ=＜0，解得 ＜a＜8．再由cosθ≠-1，解得 a≠-2．結合（1）的結論，可得實數a的取值范圍．
點評：本題主要考查余弦定理的應用，須牢記三角形的三邊關系為：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，屬于中檔題．