Question

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是橢圓+=1(a＞b＞0)上的兩點,滿足(,)·(,)=0,橢圓的離心率e=,短軸長為2，O為坐標原點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c)(c為半焦距),求直線AB的斜率k的值;

(3)試問:三角形AOB的面積是否為定值?如果是,請寫出推理過程;如果不是,請說明理由.

Answer 1

解：(1)由=3a²=4c²a²=4b²,

    又2b=2,∴b=1,a²=4.橢圓方程為:+x²=1.

(2)設直線AB的方程為:y=kx+c,代入橢圓方程并化簡得:(k²+4)x²+2kcx+c²-4=0.

∴x₁+x₂=①.x₁·x₂=. ②

而+=0,∴x₁x₂+=0.

又y₁y₂=(kx₁+)(kx₂+)=k²x₁x₂+k·(x₁+x₂)+3,

∴(4+k²)x₁x₂+k·(x₁+x₂)+3=0.

    把①、②代入上式,并化簡得:

k²=2,k=±.

(3)當直線AB的斜率存在時,設其方程為:y=kx+m,代入橢圓方程并整理得:(k²+4)x²+2kmx+m²-4=0.

x₁+x₂=,x₁·x₂=.∴(x₁-x₂)²=.

    又y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²,

    且4x₁x₂+y₁y₂=0,∴2m²=k²+4,(x₁-x₂)²=,

∴S_△AOB=|m|·|x₁-x₂|=·|m|·=1.

    又當直線AB的斜率不存在時，S_△AOB=1,

∴S_△AOB為定值1.