Question

設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點在拋物線y=2x²上,l是AB的垂直平分線.

(1)當且僅當x₁+x₂取何值時,直線l經過拋物線的焦點F?證明你的結論.

(2)當直線l的斜率為2時,求l在y軸上的截距的取值范圍.

Answer 1

l在y軸上截距的取值范圍是(,+∞).

解析:

(1)F∈l|FA|=|FB|A、B兩點到拋物線準線的距離相等y₁=y₂x₁²=x₂²(x₁+x₂)

(x₁-x₂)=0,由A、B為兩點,∴x₁≠x₂x₁+x₂=0.

故x₁+x₂=0時,直線l經過焦點F.

(2)設l:y=2x+b,

∵l⊥AB,

設AB：y=-x+m,聯立y=2x²,

∴2x²+x-m=0,

設AB中點N(x₀,y₀),

則

由點N∈l,∴+m=-+b,

b=+m>-=.

∴l在y軸上截距的取值范圍是(,+∞).