Question

設A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)兩點在拋物線y=2x²上，l是AB的垂直平分線.當且僅當x₁+x₂取何值時，直線l經過拋物線的焦點F？證明你的結論.

Answer 1

思路解析：本題考查拋物線的定義:將拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離進行轉化.

解:F∈l|FA|=|FB|A、B兩點到拋物線的準線的距離相等，

∵拋物線的準線是x軸的平行線，y₁≥0,y₂≥0，依題意y₁,y₂不同時為0,

∴上述條件等價于y₁=y₂x₁²=x₂²(x₁+x₂)(x₁-x₂)=0.

由拋物線的性質知:開口向上的拋物線中x₁≠x₂，

∴上述條件等價于x₁+x₂=0,

即當且僅當x₁+x₂=0時，l經過拋物線的焦點F.