Question

【題目】如圖，已知垂直于以為直徑的圓所在平面，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且

(Ⅰ) 求證：

(Ⅱ) 求二面角余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，根據(jù)條件可證明 ，即證明平面，所以；（Ⅱ）以點(diǎn)為原點(diǎn)， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量 ，求的值.

試題解析：（Ⅰ）證明：由知點(diǎn)為的中點(diǎn)，

連接,因?yàn)?/span>

所以為等邊三角形

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以

因?yàn)?/span>平面平面

所以

又平面平面

所以平面,又平面,

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 三線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸， 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

所以

設(shè)平面與平面的法向量分別為

顯然平面的一個(gè)法向量為

設(shè),由得

解得令

則

所以

所以，二面角的余弦值為.