Question

【題目】已知函數f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集為[0，1]．

(1)求m的值；

(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求證：ax＋by＋cz≤1.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)由f(x＋1)≥0得|x|＋|x－1|≤m.

∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，

∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集為，不合題意．

若m≥1，①當x<0時，得x≥，則≤x<0；

②當0≤x≤1時，得x＋1－x≤m，即m≥1恒成立；

③當x>1時，得x≤，則1<x≤.

綜上可知，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集為.

由題意知，原不等式的解集為[0，1]，

∴ 解得m＝1.

(2)證明：∵x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，

三式相加，得x2＋y2＋z2＋a2＋b2＋c2≥2ax＋2by＋2cz.

由題設及(1)，知x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m＝1，

∴2≥2(ax＋by＋cz)，即ax＋by＋cz≤1，得證．