Question

18．已知定義在R上函數f（x）的導函數為f'（x），且$f（x）+f'（x）=\frac{2x-1}{e^x}$，若f（0）=0，則函數f（x）的單調減區間為（　　）

• A． $（{-∞，\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}}）$和$（{\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}，+∞}）$
• B． $（{\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}}）$
• C． $（{-∞，3-\sqrt{5}}）$和 $（{3+\sqrt{5}，+∞}）$
• D． $（{3-\sqrt{5}，3+\sqrt{5}}）$

Answer 1

分析 先構造函數設g（x）=e^xf（x），再求導，得到g′（x）=2x+1，根據f（0）=0，求出g（x），即可求出f（x），再根據導數和函數的單調性即可求出答案．

解答 解：由$f（x）+f'（x）=\frac{2x-1}{e^x}$，得e^x（f（x）+f′（x））=2x-1，
設g（x）=e^xf（x），
∴g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））=2x-1，
可設g（x）=x²-x+c，
∵f（0）=0，
∴g（0）=0，
∴c=0，
∴g（x）=x²-x，
∴f（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}-x}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+3x-1}{{e}^{x}}$，
當f′（x）≤0時，即-x²+3x-1≤0，解得x≤$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或x≥$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
故選：A

點評 本題考查了導數和函數的單調性的關系，關鍵時構造函數，屬于中檔題．