Question

為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；……；第五組[17，18]。按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8。
（Ⅰ）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（Ⅱ）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（Ⅲ）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率。

Answer 1

解:（Ⅰ）百米成績在[16，17)內的頻率為0.321=0.32
0.32×1000=320
∴估計該年段學生中百米成績在[16,17)內的人數為320人；
（Ⅱ）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x ，19x 依題意，得
3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02
設調查中隨機抽取了n 個學生的百米成績，則8×0.02=∴n=50
∴調查中隨機抽取了50個學生的百米成績
（Ⅲ）百米成績在第一組的學生數有3×0.02×1×50=3，記他們的成績為a，b，c
百米成績在第五組的學生數有0.08×1×50= 4，記他們的成績為m，n，p，q
則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}， {m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21個
其中滿足成績的差的絕對值大于1秒所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12個， 所以P==