Question

為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）；…；第五組[17，18]．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3：8：19，且第二組的頻數為8．
（Ⅰ）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（Ⅱ）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（Ⅲ）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據頻率分步直方圖中小正方形的面積是這組數據的頻率，用長乘以寬得到面積，即為頻率．
（II）根據所有的頻率之和是1，列出關于x的方程，解出x的值做出樣本容量的值，即調查中隨機抽取了50個學生的百米成績．
（III）本題是一個古典概型，試驗發生所包含的事件是從第一、五組中隨機取出兩個成績，滿足條件的事件是成績的差的絕對值大于1秒，列舉出事件數，根據古典概型概率公式得到結果．
解答：解：（Ⅰ）百米成績在[16，17）內的頻率為0.32×1=0.32
（Ⅱ）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x，19x 依題意，得
3x+8x+19x+0.32+0.08=1，
∴x=0.02
設調查中隨機抽取了n 個學生的百米成績，
∴n=50
∴調查中隨機抽取了50個學生的百米成績．
（Ⅲ）百米成績在第一組的學生數有3×0.02×1×50=3，記他們的成績為a，b，c
百米成績在第五組的學生數有0.08×1×50=4，記他們的成績為m，n，p，q．
則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有
{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，
{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，
{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21個
其中滿足成績的差的絕對值大于1秒所包含的基本事件有
{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，
{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12個，
∴P=
點評：本題考查樣本估計總體，考查古典概型的概率公式，考查頻率分布直方圖等知識，考查數據處理能力和分析問題、解決問題的能力．