Question

f（x）=ax³+bx²（a≠0，a，b∈R）的圖象在點（2，f（2））處的切線與x軸平行。
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若已知a>b，求函數f（x）在[b，a]上的最大值。

Answer 1

解：（1）
由題意知
∴
整理得b=-2a
∴
當a>0時，由f'（x）＜0，得0＜x＜2，
∴f（x）的單調遞減區間為（0，2）；
當a＜0時，由f'（x）＜0，得x＜0或x>2
∴f（x）的單調遞減區間為（-∞，0）和（2，+∞）。
（2）∵a>b且b=-2a，
∴a>0，b＜0

由f（x）=0得
①當0＜a≤3時，
②當a>3時，
綜上所述：當0＜a≤3時，f （x）的最大值為0；當a>3時，f（x）的最大值為a⁴-3a³。