Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+b，其圖象在點(diǎn)P處的切線為l：y=4x-4，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2（如圖）．求直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積．

Answer 1

解：f′（x）=3ax²．∴f′（2）=12a，
切線的斜率 k=12a，∵切線方程為：y=4x-4，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為了（2，4）
∴12a=4，∴a=，且f（2）=ax³+b=4，∴b=，
即，
直線l：y=4x-4與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
所以直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積為：

=
=+++-2×2²-（+-2）=2．
分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出該點(diǎn)的斜率，然后求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，得出函數(shù)的解析式，最后根據(jù)定積分即可求出直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，同時(shí)考查了定積分，屬于中檔題．