Question

已知函數f（x）=ax³+b，其圖象在點P處的切線為l：y=4x-4，點P的橫坐標為2（如圖）．求直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區域的面積．

Answer 1

【答案】分析：先利用導數求出該點的斜率，然后求出切點的坐標，得出函數的解析式，最后根據定積分即可求出直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區域的面積．
解答：解：f′（x）=3ax²．∴f′（2）=12a，
切線的斜率 k=12a，∵切線方程為：y=4x-4，∴切點坐標為了（2，4）
∴12a=4，∴a=，且f（2）=ax³+b=4，∴b=，
即，
直線l：y=4x-4與x軸的交點的橫坐標為1，
所以直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區域的面積為：

=
=+++-2×2²-（+-2）=2．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，同時考查了定積分，屬于中檔題．