Question

如圖，直三棱柱的側棱長為3，，且，、分別是棱、上的動點，且
（1）證明：無論在何處，總有；
（2）當三棱柱.的體積取得最大值時，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）利用正方形的性質，線面垂直的判定與性質定理求解；（2）利用三棱柱的體積公式，均值不等式求得.
試題解析：

（1）∵是正方形，∴，
又，，
∴平面，                      （4分）
∴，平面，
又平面，∴.                      （6分）
（2）設三棱錐的體積為，
當時取等號，                         （8分）
故當時，即、分別是棱、上的中點時，體積最大，
則為所求.
∴，，，∴.    （12分）