Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面底面，為中點，.

（I）在線段上是否存在點,使得//平面，指出點的位置并證明；

（II）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）存在，為線段的中點；（II）.

【解析】

試題分析：（I）連結(jié)，由三角形的中位線長定理可知，再由線面平行的判定定理可證得//平面；（II）取中點，則，，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，是平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量是，再求即可.

試題解析：

（I）存在點，為線段的中點，

證明：如圖，連結(jié)，

因為底面是正方形，所以與互相平分，

又因為是中點，所以是中點，

所以，

又因為，，

所以；

（II）取中點，

在中，因為，所以，

因為面底面，且面面，

所以，

因為，所以，

又因為是的中點，所以，

以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

因為，所以，則，

，

于是，

因為，所以是平面的一個法向量，

設(shè)平面的一個法向量是，

因為，所以，即，

令，則，

所以，

由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.