3003
分析:根據{

}={

}={

},可知3
l、3
m、3
n的末四位數字相同即求滿足3
l°3
m≡3
n( mod 10
4)的l、m、n,利用取余以及數的分析,即可求得結論.
解答:∵{

}={

}={

},∴3
l、3
m、3
n的末四位數字相同,,
即求滿足3
l°3
m≡3
n( mod 10
4)的l、m、n.∴3
n(3
l-n-1)≡0 (mod 10
4).(l-n>0)
但 (3
n,10
4)=1,故必有3
l-n≡1(mod 10
4);同理3
m-n≡1(mod 10
4).
下面先求滿足3
x≡1(mod 10
4)的最小正整數x.
∵j(10
4)=10
4??=4000.故x|4000.用4000的約數試驗:
∵x=1,2,時3
x1(mod 10),而3
4≡1(mod 10),∴x必須是4的倍數;
∵x=4,8,12,16時3
x1(mod 10
2),而3
20≡1(mod 10
2),∴x必須是20的倍數;
∵x=20,40,60,80時3
x1(mod 10
3),而3
100≡1(mod 10
3),∴x必須是100的倍數;
∵x=100,200,300,400時3
x1(mod 10
4),而3
500≡1(mod 10
4).
即,使3
x≡1(mod 10
4)成立的最小正整數x=500,從而l-n、m-n都是500的倍數,
設l-n=500k,m-n=500h,(k,h∈N*,k>h).
由m+n>l,即n+500h+n>n+500k,?n>500(k-h)≥500,故n≥501.
取n=501,m=1001,l=1501,即為滿足題意的最小三個值.
∴所求周長的最小值為3003.
故答案為3003.
點評:此題屬與難題.考查指數函數的綜合應用和取余以及對數的分析,要求基礎理論要扎實,是一道競賽題,好題.