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已經三角形的三邊分別是整數l,m,n,且l>m>n,已知{}={}={},其中{x}=x-[x],而[x]表示不超過x的最大整數.則這種三角形周長的最小值為   
【答案】分析:根據{}={}={},可知3l、3m、3n的末四位數字相同即求滿足3l°3m≡3n( mod 104)的l、m、n,利用取余以及數的分析,即可求得結論.
解答:解:∵{}={}={},∴3l、3m、3n的末四位數字相同,,
即求滿足3l°3m≡3n( mod 104)的l、m、n.∴3n(3l-n-1)≡0 (mod 104).(l-n>0)
但 (3n,104)=1,故必有3l-n≡1(mod 104);同理3m-n≡1(mod 104).
下面先求滿足3x≡1(mod 104)的最小正整數x.
∵j(104)=104´´=4000.故x|4000.用4000的約數試驗:
∵x=1,2,時3x1(mod 10),而34≡1(mod 10),∴x必須是4的倍數;
∵x=4,8,12,16時3x1(mod 102),而320≡1(mod 102),∴x必須是20的倍數;
∵x=20,40,60,80時3x1(mod 103),而3100≡1(mod 103),∴x必須是100的倍數;
∵x=100,200,300,400時3x1(mod 104),而3500≡1(mod 104).
即,使3x≡1(mod 104)成立的最小正整數x=500,從而l-n、m-n都是500的倍數,
設l-n=500k,m-n=500h,(k,h∈N*,k>h).
由m+n>l,即n+500h+n>n+500k,Þn>500(k-h)≥500,故n≥501.
取n=501,m=1001,l=1501,即為滿足題意的最小三個值.
∴所求周長的最小值為3003.
故答案為3003.
點評:此題屬與難題.考查指數函數的綜合應用和取余以及對數的分析,要求基礎理論要扎實,是一道競賽題,好題.
練習冊系列答案
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}={
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