Question

已經三角形的三邊分別是整數l，m，n，且l＞m＞n，已知{

3l

104

}={

3m

104

}={

3n

104

}，其中{x}=x-[x]，而[x]表示不超過x的最大整數．則這種三角形周長的最小值為______．

Answer 1

∵{

3l

104

}={

3m

104

}={

3n

104

}，∴3^l、3^m、3ⁿ的末四位數字相同，，
即求滿足3^l°3^m≡3ⁿ（ mod 10⁴）的l、m、n．∴3ⁿ（3^l-n-1）≡0 （mod 10⁴）．（l-n＞0）
但 （3ⁿ，10⁴）=1，故必有3^l-n≡1（mod 10⁴）；同理3^m-n≡1（mod 10⁴）．
下面先求滿足3^x≡1（mod 10⁴）的最小正整數x．
∵j（10⁴）=10⁴??=4000．故x|4000．用4000的約數試驗：
∵x=1，2，時3^x1（mod 10），而3⁴≡1（mod 10），∴x必須是4的倍數；
∵x=4，8，12，16時3^x1（mod 10²），而3²⁰≡1（mod 10²），∴x必須是20的倍數；
∵x=20，40，60，80時3^x1（mod 10³），而3¹⁰⁰≡1（mod 10³），∴x必須是100的倍數；
∵x=100，200，300，400時3^x1（mod 10⁴），而3⁵⁰⁰≡1（mod 10⁴）．
即，使3^x≡1（mod 10⁴）成立的最小正整數x=500，從而l-n、m-n都是500的倍數，
設l-n=500k，m-n=500h，（k，h∈N*，k＞h）．
由m+n＞l，即n+500h+n＞n+500k，?n＞500（k-h）≥500，故n≥501．
取n=501，m=1001，l=1501，即為滿足題意的最小三個值．
∴所求周長的最小值為3003．
故答案為3003．