Question

平面上有兩點A（-1，0），B（1，0），P為圓x²+y²-6x-8y+21=0上的一點，試求S=|AP|²+|BP|²的最大值與最小值，并求相應的P點坐標．

Answer 1

分析：設點P的坐標為（x₀，y₀），則有S=4（3x₀ +4y₀-10），設x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ，則S=40sin（θ+∅）+60，其中，
tan∅=

3

4

，0＜∅＜

π

2

．根據-1≤sin（θ+∅）≤1，可得20≤S≤100，當S=100時，sin（θ+∅）=1，θ+∅=

π

2

，
θ=

π

2

-∅，求出點P的坐標；同理求得 S=20時點P的坐標．

解答：解：把已知圓的一般方程化為標準方程得（x-3）²+（y-4）²=4，設點P的坐標為（x₀，y₀），
則S=|AP|2+|BP|2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02+1)．…（2分）
∵點P（x₀，y₀）在已知圓上，∴x02+y02-6x₀ +8y₀-21=0，∴S=4（3x₀ +4y₀-10）．
∵（x-3）²+（y-4）²=4，可設x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ．
∴S=4（3x₀ +4y₀-10）=4（6cosθ+8sinθ+15）=40sin（θ+∅）+60，其中，tan∅=

3

4

，0＜∅＜

π

2

．
∵-1≤sin（θ+∅）≤1，∴20≤S≤100，再由tan∅=

3

4

，0＜∅＜

π

2

，可得 cos∅=

4

5

，sin∅=

3

5

．
當S=100時，sin（θ+∅）=1，θ+∅=

π

2

，θ=

π

2

-∅．
∴sinθ=cos∅=

4

5

，cosθ=sin∅=

3

5

，∴x₀=3+2cosθ=

21

5

，y₀ =4+2sinθ=

28

5

．
當 S=20時，sin（θ+∅）=-1，θ+∅=

3π

2

，θ=

3π

2

-∅．sinθ=-cos∅=-

4

5

，cosθ=-sin∅=-

3

5

，
∴x₀=3+2cosθ=

9

5

   y₀ =4+2sinθ=

12

5

．
∴S的最大值是100，這時點P的坐標是(

21

5

，

28

5

)，S的最小值是20，這時點P的坐標是（

9

5

，

12

5

）．

點評：本題主要考查正弦函數的定義域和值域，點與圓的位置關系，誘導公式的應用，屬于中檔題．