Question

平面上有兩點A（-1，0），B（1，0），點P在圓周（x-3）²+（y-4）²=4上，則使得AP²+BP²取得最小值時點P的坐標是

 

．

Answer 1

分析：根據圓的標準方程，設出點P的坐標，然后利用兩點間距離公式，得到AP²+BP²的表達式，利用正弦函數的最值，可求得P點的坐標．

解答：解：∵點P在圓周（x-3）²+（y-4）²=4上，設

x=3+2cost y=4+2sint

t∈R
∵A（-1，0），B（1，0），
∴AP²+BP²=（3+2cost+1）²+（4+2sint）²+（3+2cost-1）²+（4+2sint）²=（4+2cost）²+（3+2sint）²+（2+2cost）²+（4+2sint）²=16+16cost+4cos²t+9+12sint+4sin²t
=29+16cost+12sint=29+20sint（t+φ），其中sinφ=

4

5

，cosφ=

3

5

  
∴當t+φ=-

π

2

+2kπ，k∈Z時，AP²+BP²取到最小值，此時sint=-sinφ=-

4

5

，cost=-cosφ=-

3

5

此時P點的坐標為（

9

5

，

12

5

）
故答案為：（

9

5

，

12

5

）

點評：本題考查了圓的方程的綜合應用，和平面內兩點間距離公式，通過三角換元將二元問題轉化為一元函數問題，實現了消元的目的．