Question

（2007•惠州模擬）用S_m→n表示數列{a_n}從第m項到第n項（共n-m+1項）之和．
（1）在遞增數列{a_n}中，a_n與a_n+1是關于x的方程x²-4nx+4n²-1=0（n為正整數）的兩個根．求{a_n}的通項公式并證明{a_n}是等差數列；
（2）對（1）中的數列{a_n}，判斷數列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的類型，并證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0可求得方程的兩根x₁=2n-1，x₂=2n+1，利用{a_n}是遞增數列，即可知a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，從而可證得{a_n}是等差數列；
（2）依題意，可求得S_3k-2→3k與S_{3（k+1）-2→3（k+1）}，利用等差數列的定義即可判斷數列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k為等差數列．

解答：解：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0得x₁=2n-1，x₂=2n+1…（2分）
∵{a_n}是遞增數列，
∴a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，a_n+1-a_n=2…（4分）
∴數列{a_n}是等差數列，其通項公式是a_n=2n-1（n為正整數）…（6分）
（2）當k為正整數時，S_3k-2→3k=a_3k-2+a_3k-1+a_3k=18k-9…（8分）
S_{3（k+1）-2→3（k+1）}=18（k+1）-9=18k+9，…（10分）
∴S_{3（k+1）-2→3（k+1）}-S_3k-2→3k=18（常數）   …（12分）
∴數列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k是等差數列．…（14分）

點評：本題考查數列的求和，突出考查等差數列的判定與分析，考查推理證明能力，屬于中檔題．