Question

已知x、y之間滿足

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)
（1）方程

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)表示的曲線經過一點(

3

，

1

2

)，求b的值
（2）動點（x，y）在曲線

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0）上變化，求x²+2y的最大值；
（3）由

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)能否確定一個函數關系式y=f（x），如能，求解析式；如不能，再加什么條件就可使x、y之間建立函數關系，并求出解析式．

Answer 1

（1）由題意可得：曲線經過一點(

3

，

1

2

)，
所以

3 2

4

+

1

4b2

=1(b＞0)，
解得：b=1．（4分）
（2）根據

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)得x2=4(1-

y2

b2

)（5分）
所以x2+2y=4(1-

y2

b2

)+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)（7分）
當

b2

4

≥b時，即b≥4時(x2+2y)max=2b+4，
當

b2

4

≤b時，即0≤b≤4時(x2+2y)max=

b2

4

+4
∴(x2+2y)max=

2b+4，(b≥4) b2 4 +4，(0≤b＜4)

（10分）
（2）不能；                                                 （11分）
如再加條件xy＜0就可使x、y之間建立函數關系，（12分）
并且解析式y=

- 1- x2 b2  (x＞0) 1- x2 b2 ，(x＜0)

．（14分）