Question

已知直線l₁：（3+m）x+4y=5-3m，l₂：2x+（5+m）y=8．
（1）當(dāng)l₁⊥l₂，求m的值．
（2）當(dāng)l₁∥l₂，求l₁與l₂之間的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意可得直線l₁的斜率一定存在，當(dāng)m=-5時(shí)，l₂的斜率不存在，由由斜率之積等于-1列方程接出 m的值．
（2）由斜率相等接出m 的值，從而得到兩直線的方程，注意排除兩直線重合的情況，利用兩平行線間的距離公式求得
l₁與l₂之間的距離．

解答：解：（1）由題意可得直線l₁的斜率一定存在，當(dāng)m=-5時(shí)，l₂的斜率不存在，此時(shí)兩直線不垂直．
當(dāng)l₁⊥l₂ 時(shí)，由斜率之積等于-1可得

3+m

-4

 ×

-2

5+m

=-1，解得 m=-

13

3

．
（2）當(dāng)l₁∥l₂，有

3+m

-4

=

-2

5+m

，解得m=-1 或m=-7．
當(dāng)m=-1時(shí)，兩直線的方程都是x+2y-4=0，故不滿(mǎn)足條件，應(yīng)舍去．
當(dāng)m=-7兩直線的方程分別為 2x-2y-13=0，2x-2y-8=0．
故l₁與l₂之間的距離為：

|-13+8|

4+4

=

5 2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩直線平行的條件、兩直線垂直的條件，兩平行線間的距離公式，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．