Question

【題目】已知直線與橢圓交于不同的兩點，.

（1）若線段的中點為，求直線的方程；

（2）若的斜率為，且過橢圓的左焦點，的垂直平分線與軸交于點，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）利用點差法可求得直線的斜率，進而求得直線的方程；

（2）設，與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，進而表示出中點坐標；當時，易求得的值；當時，可得垂直平分線方程，進而求得點坐標和，利用弦長公式求得，進而求得的值；綜合兩種情況可知為定值.

（1）設，，

則，兩式作差得：，

中點為，，，

直線的方程為：，即：.

（2）由橢圓方程知：，可設直線的方程：，

聯立得：，

設，，則，，

，

，，

當時，，，；

當時，的垂直平分線方程為：，

令得：，，，

，

；

綜上所述：為定值.