Question

過直線y=2x+1上的一點作圓（x-2）²+（y+5）²=5的兩條切線l₁，l₂，當(dāng)直線l₁，l₂關(guān)于y=2x+1對稱時，則直線l₁，l₂之間的夾角為（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

分析：過點P作圓的兩條切線分別為PM，PN，由題意有可得PA 垂直于直線y=2x+1，可得

2a+1+5

a-2

×2=-1，求出a，直角三角形PAM中，利用邊角關(guān)系求得∠MPA=30°，從而∠MPN=60°，即得所求．

解答：解：設(shè)直線y=2x+1上的一點P（a，2a+1），
圓心A（2，-5），過點P作圓的兩條切線分別為PM，PN，
則由PM，PN關(guān)于y=2x+1對稱，可得PA垂直于直線y=2x+1，∴

2a+1+5

a-2

×2=-1，
∴a=-2，∴點P（-2，-3），PA=

16+4

=2

5

．
直角三角形PAM中，sin∠MPA=

AM

PA

=

1

2

，∴∠MPA=30°，∴∠MPN=60°，
即直線l₁，l₂之間的夾角為 60°，
故選C．

點評：本題考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直斜率之積等于-1，直角三角形中的邊角關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，求出點P的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．