Question

設(shè)P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=30°，則△PF₁F₂的面積為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   16

Answer 1

B
分析：根據(jù)橢圓方程算出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-3，0）、F₂（3，0）．由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=10，△PF₁F₂中用余弦定理得到|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=36，兩式聯(lián)解可得|PF₁|•|PF₂|=64（2-），最后根據(jù)三角形面積公式即可算出△PF₁F₂的面積．
解答：∵橢圓方程為，
∴a²=25，b²=16，得a=5且b=4，c==3，
因此，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-3，0）、F₂（3，0）．
根據(jù)橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10
∵△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=30°，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=4c²=36，
可得（|PF₁|+|PF₂|）²=36+（2+）|PF₁|•|PF₂|=100
因此，|PF₁|•|PF₂|==64（2-），
可得△PF₁F₂的面積為S=•|PF₁|•|PF₂|sin30°=
故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一點(diǎn)對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)所張的角為30度，求焦點(diǎn)三角形的面積．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．