Question

已知函數f（x）在定義域R內是增函數，且f（x）＜0，則g（x）=x²f（x）的單調情況一定是（　　）

A．在（-∞，0）上遞增

B．在（-∞，0）上遞減

C．在R上遞減

D．在R上遞增

Answer 1

分析：根據函數f（x）在定義域R內是增函數則f'（x）＞0在定義域R上恒成立，然后求出導函數g'（x），討論x，確定導函數的符號，從而求出函數的單調區間．

解答：解：∵函數f（x）在定義域R內是增函數
∴f'（x）＞0在定義域R上恒成立
∵g（x）=x²f（x）
∴g'（x）=2xf（x）+x²f'（x）
當x＜0時，而f（x）＜0，則2xf（x）＞0，x²f'（x）＞0所以g'（x）＞0
即g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上遞增
當x＞0時，2xf（x）＜0，x²f'（x）＞0，則g'（x）的符號不確定，從而單調性不確定
故選A．

點評：本題主要考查了抽象函數的單調性，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．