Question

已知函數f（x）=x³-x，其圖象記為曲線C．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）證明：若對于任意非零實數x₁，曲線C與其在點P₁（x₁，f（x₁））處的切線交于另一點P₂（x₂，f（x₂）），曲線C與其在點P₂（x₂，f（x₂））處的切線交于另一點P₃（x₃，f（x₃）），線段P₁P₂，P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S₁，S₂，則

S1

S2

為定值．

Answer 1

分析：（1）先求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0解得的區間為增區間和fˊ（x）＜0解得的區間為減區間，注意單調區間不能并；
（2）先求出點P₁與點P₂的橫坐標的關系，再求定積分求出圍成封閉圖形的面積S₁，利用同樣的方法求出面積S₂即可．

解答：解：（1）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=3(x-

3

3

)(x+

3

3

)，
當x∈(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)時，f′（x）＞0；
當x∈(-

3

3

，

3

3

)時，f′（x）＜0，
因此，f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)，單調遞減區間為(-

3

3

，

3

3

)．
（2）曲線C與其在點P₁處的切線方程為y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，即
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，由

y=(3 x 3 1 -1)x-2 x 3 1   y=x3-x

解得x=x₁或x=-2x₁故x₂=-2x₁，進而有
S₁=|

∫

-2x1 x1

（x³-3x₁³x+2x₁³）dx|=

27

4

x

4 1

，用x₂代替x₁，重復上述計算過程，可得
x₃=-2x₂和S2=

27

4

x

4 2

，又x₂=-2x₁≠0，所以S₂≠0，因此有

S1

S2

=

1

16

點評：本小題主要考查函數、導數、定積分等基礎知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想．