Question

如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC的外面種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花，若BC=a，∠ABC=θ，設△ABC的面積為S₁，正方形的面積為S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）當a固定，θ變化時，求取最小值時的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）據題知三角形ABC為直角三角形，根據三角函數分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設正方形PQRS的邊長為x，利用三角函數分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值 稱為“規劃合理度”，可設t=sin2θ來化簡求出S₁與S₂的比值，利用三角函數的增減性求出比值的最小值即可求出此時的θ．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
（3分）
設正方形的邊長為x則 ，
由BP+AP=AB，得 ，故
所以 （6分）
（2），（8分）
令t=sin2θ，因為 ，
所以0＜2θ＜π，則t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以 ，，
所以函數g（t）在（0，1]上遞減，（11分）
因此當t=1時g（t）有最小值 ，
此時
所以當 時，“規劃合理度”最小，最小值為 ．（12分）
點評：考查學生會根據實際問題選擇合適的函數關系的能力，以及在實際問題中建立三角函數模型的能力．