Question

如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC的外面種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花，若BC=a，∠ABC=θ，設△ABC的面積為S₁，正方形的面積為S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）當a固定，θ變化時，求取最小值時的角．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
設正方形的邊長為x則 ，
由BP+AP=AB，得 ，
故
所以
（2），
令t=sin2θ，因為 ，所以0＜2θ＜π，則t=sin2θ∈（0，1]
所以 ，
，所以函數g（t）在（0，1]上遞減，
因此當t=1時g（t）有最小值 ，
此時
所以當時，“規劃合理度”最小，最小值為 ．