Question

將3封不同的信投進A、B、C、D這4個不同的信箱、假設每封信投入每個信箱的可能性相等．
（Ⅰ）求這3封信分別被投進3個信箱的概率；
（Ⅱ）求恰有2個信箱沒有信的概率；
（Ⅲ）求A信箱中的信封數量的分布列和數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）這3封信分別被投進3個信箱的概率為
P₁==．（4分）
（Ⅱ）恰有2個信箱沒有信的概率為
P₂==．（8分）
（Ⅲ）設信箱A中的信封數為ζ，則ζ=0，1，2，3．
∵P（ζ=0）==，P（ζ=1）==，
P（ζ=2）==，P（ζ=3）==．
∴ζ的分布列為

ζ	0	1	2	3
P

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．（13分）
分析：（I）3封不同的信投進A、B、C、D這4個不同的信箱，事件總數為4³，而這3封信分別被投進3個信箱的種數為C₄³A₃³，根據古典概型的概率公式計算即可得到答案；
（II）恰有2個信箱沒有信的事件總數為C₄²C₃²A₂²，然后根據古典概型的概率公式計算即可得到答案；
（III）設信箱A中的信封數為ζ，則ζ=0，1，2，3．然后分別計算出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望的公式進行求解即可．
點評：本題主要考查了等可能事件的概率問題，以及利用古典概型的概率公式計算概率和分布列和數學期望等知識，屬于中檔題．