Question

將3封不同的信投進A、B、C、D這4個不同的信箱、假設每封信投入每個信箱的可能性相等．
（Ⅰ）求這3封信分別被投進3個信箱的概率；
（Ⅱ）求恰有2個信箱沒有信的概率；
（Ⅲ）求A信箱中的信封數量的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）3封不同的信投進A、B、C、D這4個不同的信箱，事件總數為4³，而這3封信分別被投進3個信箱的種數為C₄³A₃³，根據古典概型的概率公式計算即可得到答案；
（II）恰有2個信箱沒有信的事件總數為C₄²C₃²A₂²，然后根據古典概型的概率公式計算即可得到答案；
（III）設信箱A中的信封數為ζ，則ζ=0，1，2，3．然后分別計算出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望的公式進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）這3封信分別被投進3個信箱的概率為
P₁=

C 3 4 A 3 3

43

=

3

8

．（4分）
（Ⅱ）恰有2個信箱沒有信的概率為
P₂=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

43

=

9

16

．（8分）
（Ⅲ）設信箱A中的信封數為ζ，則ζ=0，1，2，3．
∵P（ζ=0）=

33

43

=

27

64

，P（ζ=1）=

C 1 3 •32

43

=

27

64

，
P（ζ=2）=

C 2 3 •3

43

=

9

64

，P（ζ=3）=

C 3 3

43

=

1

64

．
∴ζ的分布列為

ζ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．（13分）

點評：本題主要考查了等可能事件的概率問題，以及利用古典概型的概率公式計算概率和分布列和數學期望等知識，屬于中檔題．