Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），其部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將f（x）圖象上任意一點的橫坐標縮短為原來的

1

2

（縱坐標不變），再向右平移m（m＞0）個單位，得到的函數g（x）的圖象，若g（x）的圖象關于y軸對稱，求m的最小值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）由條件根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，可得g（x）=sin（2x-2m+

π

4

），再根據題意以及正弦函數、余弦函數的圖象的對稱性，可得-2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，由此求得m的最小值．

解答： 解：（1）由函數的圖象可得A=1

T

4

=

π

2ω

=

π

4

-（-

π

4

），求得ω=1．
再根據五點法作圖可得 1×（-

π

4

）+φ=0，求得φ=

π

4

，∴函數f（x）=sin（x+

π

4

）．
（2）將f（x）圖象上任意一點的橫坐標縮短為原來的

1

2

（縱坐標不變），可得函數y=sin（2x+

π

4

）的圖象；
再向右平移m（m＞0）個單位，得到的函數g（x）=sin[2（x-m）+

π

4

]=sin（2x-2m+

π

4

）的圖象，
若g（x）的圖象關于y軸對稱，則有-2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，即 m=-

kπ

2

-

π

8

，故m的最小正值為

3π

8

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數、余弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．