Question

2．（1）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）+f（2）．若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，求f（2018）；
（2）已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{m{x^2}+（m-3）x+1}$的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱且由y=f（x-1）向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象可知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，在已知條件中令x=-2可求f（2）及函數(shù)的周期，利用所求周期即可求解；
（2）通過討論m的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱且把y=f（x-1）向左平移1個單位可得y=f（x）的圖象
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)
∵f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2可得f（2）=f（-2）+f（2），∴f（-2）=f（2）=0，
從而可得f（x+4）=f（x），
即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)
∴f（2018）=f（504×4+2）=f（2）=0；
（2）m=0時，-3x+1≥0不恒成立，
m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{（m-3）}^{2}-4m≤0}\end{array}\right.$，
解得：1≤m≤9．

點評 本題主要考出了函數(shù)的圖象的平移及函數(shù)圖象的對稱性的應用，利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，函數(shù)周期的求解是解答本題的關(guān)鍵所在．