Question

（坐標系與參數方程選做題）已知圓C的圓心為(6，

π

2

)，半徑為5，直線θ=α(

π

2

≤θ＜π，ρ∈R)被圓截得的弦長為8，則α=

2π

3

．

．

Answer 1

分析：設出圓上任一點的極坐標，利用兩點間的距離公式表示出|PC|的長，讓其值等于圓的半徑5，即可得到圓C的極坐標方程，把直線方程代入圓C的方程，得到一個關于ρ的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，表示出直線被圓截得的弦長，將兩根之和與兩根之積代入后，然后其值等于8，即可求出sinα的值，由α的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出α的度數．

解答：解：設圓C上任一點坐標為P（ρ，θ），圓心C（6，

π

2

），圓的半徑r=5，
所以|PC|=

ρ2+62-2ρcos( π 2 -θ)

=5，
化簡得：ρ²-12ρsinθ+11=0，即為圓C的極坐標方程，
把直線θ=α代入圓C的方程得：ρ²-12ρsinα+11=0，
設直線與圓交于（ρ₁，α₁）（ρ₂，α₂），
根據韋達定理得：ρ₁+ρ₂=12sinα，ρ₁ρ₂=11，
所以直線被圓截得的弦長m=|ρ₁-ρ₂|=

( ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2

=

(12sinα)2-44

=8，即（12sinα）²=64+44，
化簡得：sin²α=

3

4

，
解得sinα=

3

2

，又α∈（

π

2

≤θ＜π），
則α=

2π

3

．
故答案為：

2π

3

．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，兩點間的距離公式，韋達定理及弦長公式，根據圓心坐標和半徑得出圓C的極坐標方程是本題的突破點．