Question

已知ABCD是平行四邊形，P點是ABCD所在平面外的一點，連接PA、PB、PC、PD.設點E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.
（1）試用向量方法證明E、F、G、H四點共面；
（2）試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關系，并用向量方法證明你的判斷.

Answer 1

(1)證明略(2) 平面EFGH∥平面ABCD

（1） 分別延長PE、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、R點，因為E、F、G、H分別是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R為所在邊的中點，順次連接M、N、Q、R得到的四邊形為平行四邊形，且有=，
=，=， =
∴=+
=（-）+（-）
=（-）+（-）
=（+）
又∵=-=-=
∴=（+）,∴=+
由共面向量定理知：E、F、G、H四點共面.
(2) 由（1）得=,故∥.
又∵平面ABC，EG平面ABC.
∴EG∥平面ABC.
又∵=-=-=
∴MN∥EF，又∵MN平面ABC，EF平面ABC，
EF∥平面ABC.
∵EG與EF交于E點，
∴平面EFGH∥平面ABCD.