Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證平面AEC⊥平面PDB，根據面面垂直的判定定理可知在平面AEC內一直線與平面PDB垂直，而根據題意可得AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）設AC∩BD=O，連接OE，根據線面所成角的定義可知∠AEO為AE與平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．
解答：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：設AC∩BD=O，連接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，
∴O，E分別為DB、PB的中點，
∴OE∥PD，，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴∠AEO=45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45°．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．