Question

設函數f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方
程為y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，
并求出此定值．

Answer 1

(1)解　f′(x)＝a－，
解得或
因為a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)證明　在曲線上任取一點，由f′(x₀)＝1－知，過此點的切線
方程為y－＝[1－] (x－x₀)．
令x＝1，得y＝，  切線與直線x＝1的交點為 (1, )；
令y＝x，得y＝2x₀－1，切線與直線y＝x的交點為(2x₀－1,2x₀－1)；
直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)，從而所圍三角形的面積為
|2x₀－1－1|＝2.
所以，所圍三角形的面積為定值2.

解析