Question

設f（α）=sin^xα+cos^xα，x∈{n|n=2k，k∈N₊}，利用三角變換，估計f（α）在x=2，4，6時的取值情況，猜想對x取一般值時f（α）的取值范圍是

[

1

2k-1

，1]

．

Answer 1

分析：可求得x=2，4，6時f（α）的值，的取值范圍，利用歸納法可求得2k∈N*時f（α）的取值范圍．

解答：解：x=2，f（α）=sin²α+cos²α=1，
x=4，f（α）=sin⁴α+cos⁴α
=（sin²α+cos²α）²-2sin²α•cos²α
=（1-

1

2

sin²2α）∈[

1

2

，1]，
x=6，f（α）=sin⁶α+cos⁶α
=（sin²α+cos²α）（（sin²α+cos²α）²-3sin²α•cos²α）
=（1-

3

4

sin²2α）∈[

1

4

，1]，
…
∴x=2k∈N^*時f（α）的取值范圍是

1

2k-1

≤f（α）≤1．
故答案為：

1

2k-1

≤f（α）≤1．

點評：本題考查三角函數的最值，考查二倍角公式的應用，考查綜合分析與應用的能力，屬于難題．