Question

設f(x)=2

3

cosx(

3

cosx-sinx)．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若銳角α滿足f(α)=3-2

3

，求tan

4

5

α的值．

Answer 1

分析：（I）函數f（x）表達式展開，再利用三角函數的降冪公式和輔助角公式化簡，最后整理成標準形式：f（x）=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3，由函數y=Asin（ωx+φ）+K的有關公式，可以求出f（x）的最大值及最小正周期；
（II）將x=α代入（I）中求出的表達式，化簡可得sin(2α-

π

3

)=1，再結合α為銳角，解這個關于α的等式，可得α=

5π

12

，從而得到tan

4

5

α=tan

π

3

=

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2

3

cosx(

3

cosx-sinx)=6cos2x-2

3

 sinxcosx
∴化簡，得f（x）=3（1+cos2x）-

3

sin2x=-2

3

sin（2x-

π

3

）+3
∵-1≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴當sin（2x-

π

3

）=-1時，f（x）的最大值為3+2

3

，
f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；
（Ⅱ）由（I），得f(α)=-2

3

sin(2α-

π

3

)+3=3-2

3

∴sin(2α-

π

3

)=1
∴2α-

π

3

=

π

2

 +2kπ  （k為整數）
∵銳角α∈（0，

π

2

）
∴2α-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)，取k=0，得2α-

π

3

=

π

2

所以α=

5π

12

⇒

4

5

α=

π

3

∴tan

4

5

α=tan

π

3

=

3

點評：本題以含有正、余弦的二次函數式的化簡求最值為載體，著重考查了三角函數恒等變換的應用和三角函數的圖象與性質等知識點，屬于中檔題．