Question

9．函數f（x）滿足：對?x∈R⁺都有f′（x）=$\frac{3}{x}$f（x），且f（2²⁰¹⁶）≠0，則$\frac{f（{2}^{2017}）}{f（{2}^{2016}）}$的值為（　　）

• A． 0.125
• B． 0.8
• C． 1
• D． 8

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，得到f（x）=cx³，代值計算即可．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{3}{x}$f（x），
∴xf′（x）-3f（x）=0，
設g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{3}f′（x）-3{x}^{2}f（x）}{{x}^{6}}$=$\frac{{x}^{2}[xf′（x）-3f（x）]}{{x}^{6}}$=0，
∴g（x）=c，（c常數），
∴f（x）=cx³，
∴$\frac{f（{2}^{2017}）}{f（{2}^{2016}）}$=$\frac{c（{2}^{2017}）^{3}}{c（{2}^{2016}）^{3}}$=2³=8，
故選：D

點評 本題考查了導數的運算和函數值的求法，關鍵是構造函數，屬于中檔題